Question

13．（1）若不等式|2x-1|+|x+2|≥m²+$\frac{1}{2}$m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）设a，b，c大于0，且1≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$≤$\frac{2}{5}$（|2x-1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．

Answer 1

分析 （1）由绝对值的含义，将|2x-1|+|x+2|写成分段函数式，分别求出各段的范围，可得最小值，进而得到m²+$\frac{1}{2}$m+2≤$\frac{5}{2}$，解不等式可得m的范围；
（2）运用两边夹法则，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$），展开后运用基本不等式，即可得证．

解答 解：（1）|2x-1|+|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-1-3x，x≤-2}\\{3-x，-2＜x≤\frac{1}{2}}\\{3x+1，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
当x≤-2时，-1-3x递减，取值范围是[5，+∞）；
当-2＜x≤$\frac{1}{2}$时，3-x的范围是[$\frac{5}{2}$，5）；
当x＞$\frac{1}{2}$时，3x+1的范围是（$\frac{5}{2}$，+∞）．
从而|2x-1|+|x+2|≥$\frac{5}{2}$，
解不等式m²+$\frac{1}{2}$m+2≤$\frac{5}{2}$，得m∈[-1，$\frac{1}{2}$]．
（2）证明：
由（1）知$\frac{2}{5}$（|2x-1|+|x+2|）≥1，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$≤1，又1≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，且a，b，c大于0，
即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）
=3+（$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{2b}$）+（$\frac{3a}{c}$+$\frac{a}{3c}$）+（$\frac{3c}{2b}$+$\frac{2b}{3c}$）
≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}{2b}}$+2$\sqrt{\frac{3c}{a}•\frac{a}{3c}}$+2$\sqrt{\frac{3c}{2b}•\frac{2b}{3c}}$=9．
当且仅当a=2b=3c=$\frac{1}{3}$时，等号成立．因此a+2b+3c≥9．

点评 本题考查绝对值函数的最值的求法，不等式恒成立问题的解法和不等式的证明，注意运用函数的单调性求最值，以及基本不等式的运用，属于中档题．