题目内容
【题目】在中,
,
.已知
分别是
的中点.将
沿
折起,使
到
的位置且二面角
的大小是60°,连接
,如图:
(1)证明:平面平面
(2)求平面与平面
所成二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)45°
【解析】
(1)设的中点为
,连接
,设
的中点为
,连接
,
,从而
即为二面角
的平面角,
,推导出
,从而
平面
,则
,即
,进而
平面
,推导四边形
为平行四边形,从而
,
平面
,由此即可得证.
(2)以B为原点,在平面中过B作BE的垂线为x轴,BE为y轴,BA为z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求出平面
与平面
所成二面角的大小.
(1)∵是
的中点,∴
.
设的中点为
,连接
.
设的中点为
,连接
,
.
易证:,
,
∴即为二面角
的平面角.
∴,而
为
的中点.
易知,∴
为等边三角形,∴
.①
∵,
,
,∴
平面
.
而,∴
平面
,∴
,即
.②
由①②,,∴
平面
.
∵分别为
的中点.
∴四边形为平行四边形.
∴,
平面
,又
平面
.
∴平面平面
.
(2)如图,建立空间直角坐标系,设.
则,
,
,
,
显然平面的法向量
,
设平面的法向量为
,
,
,
∴,∴
.
,
由图形观察可知,平面与平面
所成的二面角的平面角为锐角.
∴平面与平面
所成的二面角大小为45°.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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