题目内容
【题目】已知过点
,且与
内切,设
的圆心
的轨迹为
,
(1)求轨迹C的方程;
(2)设直线不经过点
且与曲线
交于点
两点,若直线
与直线
的斜率之积为
,判断直线
是否过定点,若过定点,求出此定点的坐标,若不过定点,请说明理由.
【答案】(1);(2)
过定点
.
【解析】
(1)由题意结合圆的性质可得,利用椭圆的定义即可得解;
(2)当直线斜率不存在时,求出各点坐标后即可得
与
轴的交点为
;当
的斜率存在时,设l的方程为
,联立方程可得
,
,进而可转化条件
,得出
后即可得解.
(1)由题意过点
,且与
内切,
易知点,
半径为
,
设两圆切点为,
所以,在
中,
,
所以,所以M的轨迹为椭圆,由椭圆定义可知
,
所以,所以轨迹C的方程为
;
(2)①当的斜率不存在的时,设
,所以
,
所以,解得
或
(舍),
所以与
轴的交点为
;
②当的斜率存在时,设l的方程为
,
联立消元可得
,
,所以
,
由韦达定理,
,
则
,
又因为,所以
,即
,
所以,所以
成立,
所以,当
时,
,所以l过
,
综上所述,过定点
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】环境问题是当今世界共同关注的问题,我国环保总局根据空气污染指数浓度,制定了空气质量标准:
空气污染质量 | ||||||
空气质量等级 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
某市政府为了打造美丽城市,节能减排,从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指数,绘制了频率分布直方图,经过分析研究,决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行,即车牌尾号为单号的车辆单号出行,车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号为字母的,前13个视为单号,后13个视为双号).
(1)某人计划11月份开车出行,求因空气污染被限号出行的概率;
(2)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响,对限行三年来的11月份共90天的空气质量进行统计,其结果如表:
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
天数 | 16 | 39 | 18 | 10 | 5 | 2 |
根据限行前六年180天与限行后90天的数据,计算并填写列联表,并回答是否有
的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.
空气质量优良 | 空气质量污染 | 合计 | |
限行前 | |||
限行后 | |||
合计 |
参考数据:
其中