Question

15．设由可表示为两整数的平方差的整数组成的集合为M．
（1）求证：所有奇数都属于M；
（2）为使偶数2t∈M，t应满足什么条件？
（3）求证：属于M的两个整数之积属于M．

Answer 1

分析 （1）先设M=$\{x|x={{k}_{1}}^{2}-{{k}_{2}}^{2}，{k}_{1}，{k}_{2}∈Z\}$，而${{k}_{1}}^{2}-{{k}_{2}}^{2}=（{k}_{1}+{k}_{2}）（{k}_{1}-{k}_{2}）$，可以看出取k₁=n+1，k₂=n时，便可得到2n+1∈M，这便可得出所有奇数都属于M；
（2）取k₁=n+1，k₂=n-1，从而可得出4n∈M，而令t=2n，便可得出2t∈M，这便说明t应满足为偶数；
（3）可从M中任意取出两个数为，a²-b²，c²-d²，这样便可得出（a²-b²）（c²-d²）=（a+b）（c+d）（a-b）（c-d）=（ac+bd）²-（ad+bc）²，从而便可得出属于M的两个整数之积属于M．

解答 解：（1）证明：M={x|x=${{k}_{1}}^{2}-{{k}_{2}}^{2}$，k₁，k₂∈Z}；
${{k}_{1}}^{2}-{{k}_{2}}^{2}=（{k}_{1}+{k}_{2}）（{k}_{1}-{k}_{2}）$；
取k₁=n+1，k₂=n，则：${{k}_{1}}^{2}-{{k}_{2}}^{2}=2n+1$，n∈Z；
∴2n+1∈M，n∈Z；
即所有的奇数都属于M；
（2）取k₁=n+1，k₂=n-1，则${{k}_{1}}^{2}-{{k}_{2}}^{2}=4n$，n∈Z；
设t=2n，则2t∈M；
即t满足的条件是t为偶数；
（3）证明：从M里面随便选2个数：a²-b²和c²-d²；
作乘积，（a²-b²）（c²-d²）=（a-b）（a+b）（c-d）（c+d）=（a+b）（c+d）（a-b）（c-d）=（ac+ad+bc+bd）（ac-ad-bc+bd）
=[（ac+bd）+（ad+bc）][（ac+bd）-（ad+bc）]=（ac+bd）²-（ad+bc）²；
∵a，b，c，d∈Z；
∴ac+bd，ad+bc∈Z；
∴（a²-b²）（c²-d²）∈M；
即属于M的两个整数之积属于M．

点评 考查描述法表示集合，平方差公式的运用，知道2n表示偶数，2n+1表示奇数，其中n∈Z，判断一个数是否为M的元素，只需判断这个数能否写成两个整数平方差的形式．