Question

7．已知f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$），若在[0，2π]上关于x的方程f（x）=m有两个不等的实根x₁，x₂，则x₁+x₂的值为$\frac{π}{2}$或$\frac{5π}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=m有2个不同的交点，且这两个交点的横坐标分别为x₁，x₂．再利用正弦函数的图象的对称性，数形结合求得x₁+x₂的值．

解答 解：作出f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）在[0，2π]上的简图，由题意可得m∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）或m∈（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=m有2个不同的交点，
且这两个交点的横坐标分别为x₁，x₂．
当m∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）时，这两个交点关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，x₁+x₂=$\frac{π}{2}$；
当m∈（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，这两个交点关于直线x=$\frac{5π}{4}$对称，x₁+x₂=$\frac{5π}{2}$，
故答案为：$\frac{π}{2}$或$\frac{5π}{2}$．

点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，正弦函数的图象的对称性，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．