题目内容

20.直线2x+3y-6=0与圆x2+y2+2x-6y+m=0的两个交点A,B,坐标原点为O,OA⊥OB,求实数m的值.

分析 设A、B的横坐标分别为x1,x2,把直线2x+3y-6=0代入圆C的方程利用韦达定理求得x1+x2=$\frac{30}{13}$,x1•x2=$\frac{9m-72}{13}$.再根据OA⊥OB,$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1•x2+y1•y2=0,求得m的值.

解答 解:设A、B的横坐标分别为x1,x2,把直线2x+3y-6=0代入圆x2+y2+2x-6y+m=0,
可得13x2-30x+9m-72=0,∴x1+x2=$\frac{30}{13}$,x1•x2=$\frac{9m-72}{13}$.
∵OA⊥OB,∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1•x2+y1•y2=0,即$\frac{13}{9}$x1•x2-$\frac{4}{3}$(x1+x2)+4=0,即$\frac{13}{9}$•$\frac{9m-72}{13}$-$\frac{4}{3}$•$\frac{30}{13}$+4=0,
求得m=$\frac{92}{13}$.此时△=900-52(9m-72)>0.

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系、韦达定理、两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式,属于中档题.

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