题目内容
20.直线2x+3y-6=0与圆x2+y2+2x-6y+m=0的两个交点A,B,坐标原点为O,OA⊥OB,求实数m的值.分析 设A、B的横坐标分别为x1,x2,把直线2x+3y-6=0代入圆C的方程利用韦达定理求得x1+x2=$\frac{30}{13}$,x1•x2=$\frac{9m-72}{13}$.再根据OA⊥OB,$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1•x2+y1•y2=0,求得m的值.
解答 解:设A、B的横坐标分别为x1,x2,把直线2x+3y-6=0代入圆x2+y2+2x-6y+m=0,
可得13x2-30x+9m-72=0,∴x1+x2=$\frac{30}{13}$,x1•x2=$\frac{9m-72}{13}$.
∵OA⊥OB,∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1•x2+y1•y2=0,即$\frac{13}{9}$x1•x2-$\frac{4}{3}$(x1+x2)+4=0,即$\frac{13}{9}$•$\frac{9m-72}{13}$-$\frac{4}{3}$•$\frac{30}{13}$+4=0,
求得m=$\frac{92}{13}$.此时△=900-52(9m-72)>0.
点评 本题主要考查直线和圆的位置关系、韦达定理、两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
10.已知在△ABC中,C=120°,a,b是方程x2-10x+24=0的两根,且b>a,则sinA=( )
A. | $\frac{\sqrt{57}}{19}$ | B. | $\frac{\sqrt{21}}{7}$ | C. | $\frac{\sqrt{3}}{38}$ | D. | -$\frac{\sqrt{57}}{19}$ |