题目内容
【题目】如图①:在平行四边形中,
,
,将
沿对角线
折起,使
,连结
,得到如图②所示三棱锥
.
(1)证明:平面
;
(2)若,二面角
的平面角的正切值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)证明,从而证明
平面
,进而得出
,即可证
平面
.最后证得
平面
.
(2)若,二面角
的平面角的正切值为
,由(1)知
平面
,
因为平面
,所以
,
又,所以
即为二面角
的平面角,得
,从而求出
,
,建立空间直角坐标系,求平面
的法向量为
,
最后根据公式,即得直线
与平面
所成角大小.
(1)证明:在平行四边形中,
,
则.
在三棱锥中,因为
,
.
所以平面
,所以
.
又,
,所以
平面
.
又平面
,所以
.
因为,
,所以
平面
.
(2)解:由(1)知平面
,
因为平面
,所以
,
又,所以
即为二面角
的平面角,即
.
因为平面
,
平面
.
所以,故
,
又.所以
.
在平行四边形,
,
,
所以与
为相似三角形,则
,
故(
),解得
,
故,解得
,
所以,
.
过点作
,以
为坐标原点,
,
,
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.
则,
,
,
.
所以,
,
.
设平面的法向量为
,
则
令,得
.
设直线与平面
所成角为
,
即直线与平面
所成角为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务(货物全部用统一规格的包装箱包装),现统计了最近100天内每天可配送的货物量,按照可配送货物量T(单位:箱)分成了以下几组:,
,
,
,
,
,并绘制了如图所示的频率分布直方图(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表,将频率视为概率).
(1)该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析可配送货物量少的原因,并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析,求这3天的数据中至少有2天的数据来自这一组的概率.
(2)由频率分布直方图可以认为,该物流公司每日的可配送货物量T(单位:箱)服从正态分布,其中
近似为样本平均数.
(ⅰ)试利用该正态分布,估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数(结果保留整数).
(ⅱ)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案.
方案一:直接发放奖金,按每日的可配送货物量划分为以下三级:时,奖励50元;
,奖励80元;
时,奖励120元.
方案二:利用抽奖的方式获得奖金,其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会,每日的可配送货物量低于
时只有一次抽奖机会,每次抽奖的奖金及对应的概率分别为
奖金 | 50 | 100 |
概率 |
小张恰好为该公司装卸货物的一名员工,试从数学期望的角度分析,小张选择哪种奖励方案对他更有利?
附:若,则
,
.