题目内容
【题目】已知函数,
,其中
是自然对数的底数.
(Ⅰ),使得不等式
成立,试求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若,求证:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
试题第一问根据题意将问题转化为在区间
上的最大值小于等于
在区间
上的最大值,之后根据函数的单调性求得相应的最值,第二问转化不等式,将问题转化为一个函数的最小值大于另一个函数的最大值,从而求得结果.
试题解析:(Ⅰ) 由题意,,使得不等式
成立,
等价于.1分
,
当时,
,故
在区间
上单调递增,
所以时,
取得最大值1.即
又当时,
,
所以在
上单调递减,所以
,
故在区间
上单调递减,因此,
时,
.
所以,则
.
实数的取值范围是
.
(Ⅱ)当时,要证
,只要证
,
即证,由于
,
只要证.
下面证明时,不等式
成立.
令,则
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
所以当且仅当时,
取最小值为1.
法一:,则
,即
,即
,
由三角函数的有界性,,即
,所以
,而
,
但当时,
;
时,
所以,,即
综上所述,当时,
成立.
法二:令,其可看作点
与点
连线的斜率
,
所以直线的方程为:
,
由于点在圆
上,所以直线
与圆
相交或相切,
当直线与圆
相切且切点在第二象限时,
直线取得斜率
的最大值为
.而当
时,
;
时,
.所以,
,即
综上所述,当时,
成立.
法三:令,则
,
当时,
取得最大值1,而
,
但当时,
;
时,
所以,,即
综上所述,当时,
成立.
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