题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，
平面
，底面是正方形，且
,
为
中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由
平面
，可得
，再由正方形中，得
，由线面垂直的判定定理可得
平面
，从而可得
，再由等腰三角形的性质可得
，可得证；
（2）以点
为坐标原点，分别以直线
为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，再分别求出面
的一个法向量和平面
的一个法向量，再由向量的夹角运算可求得二面角的余弦值.
解：（1）证明：
平面，
，
又正方形中，
，
平面，
又
平面，
，
，
是
的中点，
所以
，
平面
（2）以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意知：
，
设平面的法向量为
，则
，
，令
，得到
，
，
平面，
，
又正方形中，
，
平面
又
，
平面的一个法向量为
，
设二面角
的平面角为
，由图示可知二面角为锐角，
则
.二面角的余弦值为.
【题目】某地因受天气，春季禁渔等因素影响，政府规定每年的7月1日以后的100天为当年的捕鱼期.某渔业捕捞队对吨位为
的20艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计，如下表所示：
捕鱼量(单位：吨) |
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频数 | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
根据气象局统计近20年此地每年100天的捕鱼期内的晴好天气情况如下表（捕鱼期内的每个晴好天气渔船方可捕鱼，非晴好天气不捕鱼）：
晴好天气(单位：天) |
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频数 | 2 | 7 | 6 | 3 | 2 |
（同组数据以这组数据的中间值作代表）
（Ⅰ）估计渔业捕捞队吨位为的渔船一天的捕鱼量的平均数；
（Ⅱ）若以（Ⅰ）中确定的平均数作为上述吨位的捕鱼船在晴好天气捕鱼时一天的捕鱼量.
①估计一艘上述吨位的捕鱼船一年在捕鱼期内的捕鱼总量；
②已知当地鱼价为2万元/吨，此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时，每天成本为10万元/艘；若不捕鱼，每天成本为2万元/艘，请依据往年天气统计数据，估计一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率.
