题目内容
【题目】若数列、
满足
(
N*),则称
为数列
的“偏差数列”.
(1)若为常数列,且为
的“偏差数列”,试判断
是否一定为等差数列,并说明理由;
(2)若无穷数列是各项均为正整数的等比数列,且
,
为数列
的“偏差数列”,求
的值;
(3)设,
为数列
的“偏差数列”,
,
且
,若
对任意
恒成立,求实数M的最小值.
【答案】(1)见解析;(2)或
;(3)
【解析】
(1){an}不一定为等差数列,如;
(2)设数列{an}的公比为q,解方程可得首项和公比,由等比数列的通项公式和求和公式,计算可得所求值;
(3)由累加法可得数列{an}的通项公式,讨论n为奇数或偶数,求得极限,由不等式恒成立思想可得M的最小值.
解:(1) 如,则
为常数列,但
不是等差数列,
(2) 设数列的公比为
,则由题意,
、
均为正整数,
因为,所以
,
解得或
,
故 或
(
N*),
①当时,
,
,
,
② 当时,
,
,
综上,的值为
或
;
(3) 由≤
且
≤
得,
=
故有:,
,
,
累加得:
=
=,
又,所以
当n为奇数时,单调递增,
,
,
当n为偶数时,单调递减,
,
,
从而≤
,所以M≥
,即M的最小值为
.
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练习册系列答案
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【题目】省环保厅对、
、
三个城市同时进行了多天的空气质量监测,测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个,三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示:
|
|
| |
优(个) | 28 | ||
良(个) | 32 | 30 |
已知在这180个数据中随机抽取一个,恰好抽到记录城市空气质量为优的数据的概率为0.2.
(1)现按城市用分层抽样的方法,从上述180个数据中抽取30个进行后续分析,求在城中应抽取的数据的个数;
(2)已知,
,求在
城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.