题目内容
【题目】已知抛物线,直线
经过抛物线
的焦点,且垂直于抛物线的对称轴,
与抛物线两交点间的距离为4.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知,过
的直线
与抛物线
相交于
两点,设直线
与
的斜率分别为
和
,求证:
为定值,并求出定值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根据抛物线中过焦点且与对称轴垂直的弦长为4可得的值,进而得到抛物线的方程.(2)由题意直线
的斜率存在,设其方程为
,与抛物线方程联立后求出
两点的坐标,结合根与系数的关系及斜率公式求出
和
,然后求出
可证明为定值.
(1)由题意得抛物线的焦点为
,
∴过焦点与对称轴垂直的直线为,
∴直线与抛物线的两个交点为
,
由题意得,
∴抛物线的方程为
.
(2)由题意直线的斜率存在,设其方程为
,
由消去y整理得
,
∵直线与抛物线交于两点,
∴,解得
或
.
设,
则.
∴.
∴为定值,且定值为
.

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