题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)当时,设
,若存在
,
,使
,求实数
的取值范围.(
为自然对数的底数,
)
【答案】(I)当时,
的减区间为
,增区间
,当
时,
的减区间为
;当
时,
的减区间为
,
,增区间为
;(II)
.
【解析】
试题分析:(I)先求出函数的定义域和,然后解关于
的不等式
,即可分类讨论得到函数的单调区间;(II)由(I)可得
时函数
在
上单调递减,把存在
,
,使
,转化为
上
的最大值大于
的最小值,进而转化为
在
的上的最大值、最小值.
试题解析:(Ⅰ),
.…………………1分
令
①时,
,
的减区间为
,增区间为
.…………2分
②当时,
所以当时,
,
,
在区间
上单调递减.……………………4分
当时,
,
,
,
当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减,………………7分
所以当时,
的减区间为
,增区间
.
当时,
的减区间为
.
当时,
的减区间为
,
增区间为.…………8分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知在
上的最大值为
,………………10分
,令
,得
.
时,
,
单调递减,
,
,
单调递增,………………12分
所以在
上的最小值为
,……………13分
由题意可知,解得
…………14分
所以
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