题目内容
设椭圆C:
的离心率
,右焦点到直线
1的距离
,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A、B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.




(1)求椭圆C的方程;
(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A、B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.
(1)
;(2)
.


试题分析:
解题思路:(1)利用离心率及点到直线的距离公式求解即可;(2)设出直线



规律总结:直线与圆锥曲线的位置关系问题,一般综合性强.一般思路是联立直线与圆锥曲线的方程,整理得关于

试题解析:(1)由



由右焦点到直线


得


所以椭圆C的方程为

(2)设A


直线AB的方程为y=kx+m与椭圆



∵OA⊥OB,


即


整理得

所以O到直线AB的距离

∵OA⊥OB,∴

当且仅当OA=OB时取“=”
由



即弦的长度最小值是


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