题目内容
【题目】给定椭圆.称圆心在原点O,半径为
的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线,使得
与椭圆C都只有一个交点,试判断
是否垂直?并说明理由.
【答案】(Ⅰ),
;(Ⅱ)垂直.
【解析】
试题(1)由“椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F的距离为
”知:
从而可得椭圆的标准方程和“准圆”的方程;
(2)分两种情况讨论:①当中有一条直线斜率不存在;②直线
斜率都存在.
对于①可直接求出直线的方程并判断其是不互相垂直;
对于②设经过准圆上点与椭圆只有一个公共点的直线为
与椭圆方程联立组成方程组消去
得到关于
的方程:
由化简整理得:
而直线的斜率正是方程的两个根
,从而
(1)
椭圆方程为
准圆方程为
(2)①当中有一条无斜率时,不妨设
无斜率,
因为与椭圆只有一个共公点,则其方程为
当方程为
时,此时
与准圆交于点
此时经过点(或
)且与椭圆只有一个公共眯的直线是
(或
)
即为
(或
),显然直线
垂直;
同理可证方程为
时,直线
也垂直.
②当都有斜率时,设点
其中
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
则由消去
,得
由化简整理得:
因为,所以有
设的斜率分别为
,因为
与椭圆只有一个公共点
所以满足上述方程
所以,即
垂直,
综合①②知,垂直.
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【题目】某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
个数 | 10 | 30 | 40 | 20 |
(1)若将频率是为概率,从这个水果中有放回地随机抽取
个,求恰好有
个水果是礼品果的概率.(结果用分数表示)
(2)用样本估计总体,果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案:不分类卖出,单价为
元
.
方案:分类卖出,分类后的水果售价如下:
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
售价(元/kg) | 16 | 18 | 22 | 24 |
从采购单的角度考虑,应该采用哪种方案?
(3)用分层抽样的方法从这个水果中抽取
个,再从抽取的
个水果中随机抽取
个,
表示抽取的是精品果的数量,求
的分布列及数学期望
.