Question

1．已知等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，且$\frac{S_n}{T_n}=\frac{9n+59}{n+3}$，则使得$\frac{a_n}{b_n}$为整数的正整数的个数是（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 ①当n=1时，$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=$\frac{{S}_{1}}{{T}_{1}}$=$\frac{9+59}{1+3}$=17；②当n≥2时，$\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{{S}_{2n-1}}{{T}_{2n-1}}$=$\frac{9（2n-1）+59}{2n-1+3}$=9+$\frac{16}{n+1}$；从而判断即可．

解答 解：①当n=1时，$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=$\frac{{S}_{1}}{{T}_{1}}$=$\frac{9+59}{1+3}$=17，故成立；
②当n≥2时，$\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{{S}_{2n-1}}{{T}_{2n-1}}$
=$\frac{9（2n-1）+59}{2n-1+3}$=$\frac{18n+50}{2n+2}$
=$\frac{9n+25}{n+1}$=9+$\frac{16}{n+1}$；
故n=3，7，15；
故使得$\frac{a_n}{b_n}$为整数的正整数的个数是4；
故选：B．

点评 本题考查了等差数列前n项和公式的应用及分类讨论的思想应用，属于基础题．