Question

（本小题满分14分）设．
（1）若函数在区间内单调递减，求的取值范围；
(2) 若函数处取得极小值是，求的值，并说明在区间内函数
的单调性．

Answer 1

（1）；（2）f(x)在(1,3)内减，在[3,4)内增．

第一问中利用导数的思想，根据逆向问题，因为函数f(x)在区间(1,4)内单调递减,,则说明导数恒大于等于零在给定区间成立，然后分离参数的思想得到参数的取值范围。
第二问中，由于函数函数f(x)在x=a处取得极小值是1，结合导数为零，以及该点的函数值为1，得到参数a的值，然后，代入原式中，判定函数在给定区间的单调性即可。
解：
⑴∵函数f(x)在区间(1,4)内单调递减，
∵，∴．
⑵∵函数f(x)在x=a处有极值是，∴f(a)=1．
即．
∴，所以a=0或3．
a=0时，f(x)在上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以f(0)为极大值，
这与函数f(x)在x=a处取得极小值是1矛盾，
所以．
当a=3时，f(x)在(1,3)上单调递减，在上单调递增，所以f(3)为极小值，
所以a=3时，此时，在区间(1,4)内函数f(x)的单调性是：
f(x)在(1,3)内减，在[3,4)内增．