题目内容

【题目】已知椭圆 的离心率为 ,四个顶点构成的菱形的面积是4,圆M:(x+1)2+y2=r2(0<r<1).过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B,D两点(不同于点A),直线AB,AD的斜率分别为k1 , k2
(1)求椭圆C的方程;
(2)当r变化时,①求k1k2的值;②试问直线BD是否过某个定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由.

【答案】
(1)解:由题设知, ,又a2﹣b2=c2

解得a=2,b=1.

故所求椭圆C的方程是


(2)解:AB:y=k1x+1,则有 ,化简得

对于直线AD:y=k2x+1,同理有

于是k1,k2是方程(1﹣r2)k2﹣2k+1﹣r2=0的两实根,故k1k2=1.

考虑到r→1时,D是椭圆的下顶点,B趋近于椭圆的上顶点,故BD若过定点,则猜想定点在y轴上.

,得 ,于是有

直线BD的斜率为

直线BD的方程为

令x=0,得

故直线BD过定点


【解析】(1)利用已知条件求出a,b即可求解椭圆C的方程.(2)AB:y=k1x+1,则有 ,化简得 ,直线AD:y=k2x+1,同理有 ,推出k1 , k2是方程(1﹣r2)k2﹣2k+1﹣r2=0的两实根,故k1k2=1.考虑到r→1时,D是椭圆的下顶点,B趋近于椭圆的上顶点,故BD若过定点,则猜想定点在y轴上.联立直线与椭圆方程,求出相关点的坐标,求出直线BD的方程,推出直线BD过定点.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:

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