Question

【题目】如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量 =m +n （m，n为实数），则m+n的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：如图所示，边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，向量 =m +n （m，n为实数）； =（ 4，0）， =（0，4）．可得 =m +n =（ 4m，4n）． 当动圆Q的圆心经过点C时，如图：P（ ， ）．
此时m+n取得最大值：4m+4n=8+ ，可得m+n=2+ ．
当动圆Q的圆心为点B时，AP与⊙B相切且点P在x轴的下方时， ，
此时，4m+4n=4﹣ sin（ ），
m+n取得最小值为：1﹣ ；此时P（ 4﹣ ，﹣ ）．
∴则m+n的取值范围为 ．
故选：A．