Question

【题目】已知椭圆：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成面积为的等腰直角三角形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线：与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否存在点，使得为等边三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；直线的方程为.

【解析】

（1）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成面积为的等腰直角三角形，可得和椭圆标准方程．

（2）由（1）可知椭圆方程，把直线代入椭圆方程，消得，由韦达定理和弦长公式表示出，再由韦达定理和点（由的垂直平分线方程中令x=0求得）到直线距离求得,然后令，解出，再检验判别式，写出直线的方程.

（1）依题意得：，解得

所以椭圆的标准方程为.

（2）假设在轴上存在点，使为等边三角形，设，，

线段的中点为，则，

把代入

并整理得，，

则，

解得.

又，

所以，，，即.

则直线的方程为，

即，

令，则，即，

所以，又，

即解得，满足题意.

所以在轴上存在点，使为等边三角形，且直线的方程为.