Question

【题目】已知数列的前n项和为，，若是公差不为0的等差数列，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：数列是等差数列；

（3）记，若存在，（），使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据已知条件求得和数列的公差，由此求得数列的通项公式.

（2）由（1）得到，进而得到数列是常数列，求得数列的通项公式，进而证得数列是等差数列.

（3）先求得的表达式，然后求得的表达式，对进行分类讨论，结合数列的单调性，求得的取值范围.

（1）设等差数列的公差为d，因为，所以．

由得，，即，

因为，所以，从而．

（2）由（1）知，，

即有， ①

所以， ②

②-①得，，整理得．

两边除以得，，

所以数列是常数列．

所以，即，

所以，

所以数列是等差数列．

（3）因为，所以，

所以．

因为，

当时，．

显然，

①若，则恒成立，

所以，即，

所以单调递减，所以不存在；

②若，则恒成立，

所以，即，

所以单调递减，所以不存在；

③若，则，所以当，成立，

所以存在．

④若，则．

当，且时，，单调递增；

当，且时，，单调递减，

不妨取，则．

综上，若存在，使得成立，则的取值范围是.