题目内容

(本小题共12分)
在直角坐标系中,动点P到两定点的距离之和等于4,设动点P的轨迹为,过点的直线与交于A,B两点.
(1)写出的方程;
(2)设d为A、B两点间的距离,d是否存在最大值、最小值;若存在,求出d的最大值、最小值.
, d的最大值、最小值存在,分别为4、1
解:(1)设P( x,y ),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴
故曲线C的方程为.  ……4分
(2)①设过点的直线方程为y=kx+,
其坐标满足
消去y并整理得. ……6分

∴ =4
=
,∴k=0时,d取得最小值1 。……10分
② 当k不存在时,过点的直线方程为x=0,此时交点A、B分别为椭圆C的长轴的两端点,
∴d取最大值4. ……12分
综上, d的最大值、最小值存在,分别为4、1.……12分
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