Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）当a=1，b=2时，求函数f（x）（x≠1）的值域，
（2）当a=0时，求f（x）＜1时，x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵当a=1，b=2时，f（x）= =x﹣1+ +5，（x≠1）

当x＞1时，即x﹣1＞0．

∴f（x）=x﹣1+ +5≥2 +5=2+5=7

当且仅当x﹣1= ，即x=2时取等号

当x＜1．

f（x）=x﹣1+ +5=5﹣[﹣（x﹣1）﹣ ]≤﹣2 +5=﹣2+5=3

当且仅当﹣（x﹣1）=﹣ ，即x=0时取等号

所以函数f（x）的值域（﹣∞，3]∪[7，+∞）

（2）解：当a=0时，f（x）= ＜1，即 ＜0，（bx﹣2）（x﹣1）＜0

①当b=0时，解集为{x|x＞1}…（8分）

②当b＜0时，解集为{x|x＞1或x＜ }

③当 =1，即b=2，解集为

④当 ＞1，即0＜b＜2时，解集为{x|1＜x＜ }

⑤当0＜ ＜1，即b＞2时，解集为{x| ＜x＜1}

【解析】（1）根据分式的性质，利用分子常数化，转化为基本不等式进行求解即可．（2）将分式不等式转化为一元二次不等式，讨论参数b的取值范围进行求解即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的值域的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．