Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0 ， 使得当x∈（x0 ， +∞）时，恒有x＜cex ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣ax得f′（x）=ex﹣a．

又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，

∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．

由f′（x）=0得x=ln2，

当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．

f（x）无极大值

（2）证明：令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x，

由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，

∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex

（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0= ＞0．当x∈（x0，+∞）时，

由（2）得ex＞x2＞ x，即x＜cex．

∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex

【解析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=ex﹣x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；（3）利用（2）的结论，令x0= ，则ex＞x2＞ x，即x＜cex．即得结论成立．