题目内容
【题目】已知数列{an}的首项a1=1，且满足an+1﹣an≤n2n ， an﹣an+2≤﹣（3n+2）2n ， 则a2017= ．
【答案】2015×22017+3
【解析】解：∵an+1﹣an≤n2n，an﹣an+2≤﹣（3n+2）2n，
∴an+1﹣an+2≤n2n﹣（3n+2）2n=﹣（n+1）2n+1．即an+2﹣an+1≥（n+1）2n+1．
又an+2﹣an+1≤（n+1）2n+1．
∴an+2﹣an+1=（n+1）2n+1．
可得：an+1﹣an=n2n，（n=1时有时成立）．
∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=（n﹣1）2n﹣1+（n﹣2）2n﹣2+…+222+2+1．
2an=（n﹣1）2n+（n﹣2）2n﹣1+…+22+2，
可得：﹣an=﹣（n﹣1）2n+2n﹣1+2n﹣2+…+22+1= 
﹣1﹣（n﹣1）2n．
∴an=（n﹣2）2n+3．
∴a2017=201522017+3．
所以答案是：2015×22017+3．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．
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