Question

14．已知△ABC为锐角三角形，AB≠AC，以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点M和N，记BC得中点为O，∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于点R．证明：△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在BC上．

Answer 1

分析 由已知得点M、N分别在线段AB、AC内，在射线AR上取一点R₁，使A、M、R₁、N四点共圆，由AB≠AC，得到∠MON的平分线与∠BAC的平分线有惟一交点R，从而得到R₁=R，即A、M、R、N四点共圆．设AR的延长线交BC于点K，则K在边BC上，由已知条件推导出B、M、R、K四点共圆，C、N、R、K四点共圆．由此能证明△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在BC上．

解答 证明：如图，先证明A、M、R、N四点共圆，
∵△ABC为锐角三角形，∴点M、N分别在线段AB、AC内，
在射线AR上取一点R₁，使A、M、R₁、N四点共圆，
∵AR₁平分∠BAC，∴R₁M=R₁N，
∵OM=ON，R₁M=R₁N，∴R₁在∠MON的平分线上，
∵AB≠AC，∴∠MON的平分线与∠BAC的平分线不重合、不平行，有惟一交点R，
∴R₁=R，即A、M、R、N四点共圆．
其次，设AR的延长线交BC于点K，则K在边BC上，
∵B、C、N、M四点共圆，∴∠MBC=∠ANM，
∵A、M、R、N四点共圆，∴∠MBK=∠MRA，
∴B、M、R、K四点共圆，
同理，C、N、R、K四点共圆．
故△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在BC上．

点评 本题考查四点共圆的证明与应用，是中档题，解题时要认真审题，注意四点共圆的性质的合理运用．