Question

17．己知函数f（x）满足2^x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，设g（x）=f（1-x），则正确的结论是（　　）

• A． g（x）在R上是单调递增函数
• B． 若g（x₁）+g（x₂）＞0，则x₁+x₂＞2
• C． 存在x₀，使g（x₀）=2成立
• D． 对任意x∈R，g（x）+g（2-x）=0恒成立

Answer 1

分析 先分析函数f（x）的图象和性质，进而由g（x）=f（1-x），可得函数f（x）和函数g（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，进而得到函数g（x）的图象和性质，逐一分析可得答案．

解答 解：∵2^x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴函数f（x）在R上为增函数，
又∵f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{{1-2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，
若f（x₁）+f（x₂）＞0，则x₁+x₂＞0，
函数的值域为（-1，1），
又∵g（x）=f（1-x），
故函数f（x）和函数g（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，
∴g（x）在R上是单调递减，故A错误；
若g（x₁）+g（x₂）＞0，则x₁+x₂＜2，故B错误；
函数的值域为（-1，1），故不存在x₀，使g（x₀）=2成立，故C错误，
函数图象关于（1，0）点对称，故对任意x∈R，g（x）+g（2-x）=0恒成立，故D正确；
故选：D

点评 本题考查的知识点是抽象函数的应用，根据已知令x，y等于适合的值，进而“凑”出要解答或证明的结论，是解答的关键．