Question

2．已知45°＜θ＜90°，则函数f（θ）=sin⁴θ•sec²θ•sec2θ的最大值为-4．

Answer 1

分析 由三角函数知识可得f（θ）=$\frac{ta{n}^{4}θ}{1-ta{n}^{2}θ}$，换元法令tan²θ=x∈（1，+∞），原式可化为y=-（x-1+$\frac{1}{x-1}$）-2，由基本不等式可得．

解答 解：f（θ）=sin⁴θ•sec²θ•sec2θ=$\frac{si{n}^{4}θ}{co{s}^{2}θ•cos2θ}$
=$\frac{si{n}^{4}θ}{co{s}^{2}θ（co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ）}$=$\frac{si{n}^{4}θ}{co{s}^{4}θ-co{s}^{2}θsi{n}^{2}θ}$
分子分母同除以cos⁴θ可得f（θ）=$\frac{ta{n}^{4}θ}{1-ta{n}^{2}θ}$，
由45°＜θ＜90°可得tan²θ=x∈（1，+∞），
则原式可化为y=$\frac{{x}^{2}}{1-x}$=$\frac{（1-x）^{2}-2（1-x）+1}{1-x}$
=1-x+$\frac{1}{1-x}$-2=-（x-1+$\frac{1}{x-1}$）-2≤-2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$-2=-4
当且仅当x-1=$\frac{1}{x-1}$即x=2即tanθ=$\sqrt{2}$时取等号，
∴原函数的最大值为：-4．
故答案为：-4．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及换元法和基本不等式求最值，属中档题．