Question

9．在数列{a_n}中，a₁=3，且对任意大于1的正整数n，点（ $\sqrt{{a}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n-1}}$ ）在直线x-y-$\sqrt{3}$=0上，
（1）求a_n；
（2）设T_n为数列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}\sqrt{{a}_{n+1}}}$}的前n项和，若3T_n＜λ对n∈N^*恒成立，求整数λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过将点（$\sqrt{{a}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n-1}}$）代入直线x-y-$\sqrt{3}$=0、化简可知$\sqrt{{a}_{n}}$-$\sqrt{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{3}$，进而可知数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是首项、公差均为$\sqrt{3}$的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{3}$n，裂项可知$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加可知T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$），通过3T_n＜λ对n∈N^*恒成立可知问题即求1-$\frac{1}{n+1}$的最大值，计算即得结论．

解答 解：（1）∵点（$\sqrt{{a}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n-1}}$）在直线x-y-$\sqrt{3}$=0上，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$-$\sqrt{{a}_{n-1}}$-$\sqrt{3}$=0，即$\sqrt{{a}_{n}}$-$\sqrt{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{3}$，
又∵$\sqrt{{a}_{1}}$=$\sqrt{3}$，
∴数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是首项、公差均为$\sqrt{3}$的等差数列，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{3}$+（n-1）$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$n，
∴a_n=3n²；
（2）由（1）可知$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{3}$n，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{3n（n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$），
又∵3T_n＜λ对n∈N^*恒成立，
∴1-$\frac{1}{n+1}$＜λ对n∈N^*恒成立，
∴整数λ的最小值为1．

点评 本题考查数列的求和及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．