题目内容
(本题12分)如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,
AD⊥AB,AB=
。AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E
与直线AA1的交点。
(1)证明:(i)EF∥A1D1;
(ii)BA1⊥平面B1C1EF;
(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。
AD⊥AB,AB=

与直线AA1的交点。
(1)证明:(i)EF∥A1D1;
(ii)BA1⊥平面B1C1EF;
(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。

(1)见解析;(2) BC与平面
所成角的正弦值是
.


本试题主要是考查了线线平行的证明,以及线面垂直的证明,以及线面角的求解。
(1)因为在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,
AD⊥AB,AB=
。AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E
与直线AA1的交点。那么可知得到证明。
(2)先证明垂直于平面内的两条相交直线即可。
(3)根据上一问可知线面垂直,那么利用平面的垂直,得到斜线的射影,进而表示线面角的大小,求解得到。
(1)(i)因为
,
平面ADD1 A1,所以
平面ADD1 A1.
又因为平面
平面ADD1 A1=
,所以
.所以
. 3分
(ⅱ)因为
,所以
,
又因为
,所以
,
在矩形
中,F是AA的中点,
即
.
即
,故
.所以
平面
. 4分
(2) 设
与
交点为H,连结
.
由(1)知
,所以
是
与平面
所成的角. 在矩形
中,
,
,得
,在直角
中,
,
,得
,所以BC与平面
所成角的正弦值是
. 5分
(1)因为在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,
AD⊥AB,AB=

与直线AA1的交点。那么可知得到证明。
(2)先证明垂直于平面内的两条相交直线即可。
(3)根据上一问可知线面垂直,那么利用平面的垂直,得到斜线的射影,进而表示线面角的大小,求解得到。
(1)(i)因为



又因为平面




(ⅱ)因为


又因为


在矩形

即

即




(2) 设



由(1)知















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