题目内容
【题目】若数列满足
则称
为
数列.记
(1)若为
数列,且
试写出
的所有可能值;
(2)若为
数列,且
求
的最大值;
(3)对任意给定的正整数是否存在
数列
使得
?若存在,写出满足条件的一个
数列
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,见解析.
【解析】
(1)根据题意,则
或
,分析后可得符合条件的
数列;
(2)由于由于为
数列,且
故n必须是不小于3的奇数. 使
最大的
,可以让数列
先逐渐增大1,到中间位置后再逐渐减小1,由等差数列的前
项和公式可得;
(3)令,则
,用
表示
有
,求出
,
是偶数,
,则
是偶数,
或
(
),可分别求得结论.
(1)满足条件的数列
,及对应的
分别为:
(i) 0, 1, 2,1, 0. (ii) 0, 1, 0,1, 0.
(iii) 0, 1, 0,-1, 0. (iv) 0, -1, -2,-1, 0.
(v) 0, -1, 0,-1, 0 . (vi) 0, -1, 0, 1, 0.
因此,的所有可能值为:
(2) 由于为
数列,且
故n必须是不小于3的奇数.
于是使最大的
为:
这里 并且
因此, (n为不小于3的奇数)
(3)令,则
于是由
得
故
因为,故
为偶数,
所以为偶数,
于是要使,必须
为偶数,即
为4的倍数,亦即
或
(i)当时,
数列
的项在满足:
时,
(ii)当时,
数列
的项在满足:
时,
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