题目内容
【题目】对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S（A）．
（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；
（2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；
（3）若A{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}T（T（A）），求元素个数最少的集合A．
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）根据定义直接进行计算即可
（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明
（3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A中元素情况即可得到结论．
（1）若集合A={0，1，2}，则S（A）=T（A）={0，1，2，3，4}．
（2）令
．不妨设
．
充分性：设
是公差为
的等差数列．
则
且
．所以
共有2n-1个不同的值．即d（S（A））=2n-1．
必要性：若d（S（A））=2n-1．
因为
．
所以S（A）中有2n-1个不同的元素：
任意（1≤i，j≤n） 的值都与上述某一项相等．
又
，且
．
所以
，所以是等差数列，且公差不为0．
（3）首先证明：1∈A．假设1A，A中的元素均大于1，从而1S（A），
因此1T（A），1S（T（A）），故1T（T（A）），与{1，2，3，…，25，26}T（T（A））矛盾，因此1∈A．
设A的元素个数为n，S（A）的元素个数至多为C
+n，从而T（A）的元素个数至多为C+n+n=
．
若n=2，则T（A）元素个数至多为5，从而T（T（A））的元素个数至多为
=20，
而T（T（A））中元素至少为26，因此n≥3．
假设A有三个元素，设
，且
，
则1，2，
，
，
从而1，2，3，4∈T（T（A））．若
，T（T（A））中比4大的最小数为
，则5T（T（A）），与题意矛盾，故≤5．
集合T（T（A））．中最大数为
，由于26∈T（T（A）），故≥26，从而
≥7，
（i）若A={1，a2，7}，且≤5．此时1，2，，+1，7，8，2，7+，14∈T（A），则有8+14=22，2×14=28∈T（T（A）），在22与28之间可能的数为14+2，21+．
此时23，24，25，26不能全在T（T（A））．中，不满足题意．
（ii）若A={1，，8}，且≤5．此时1，2，，+1，8，9，2，8+，16∈T（A），则有16+9=25∈T（T（A）），
若26∈T（T（A）），则16+2=26或16+（8+）=26，
解得=5或=2．
当A={1，2，8}时，15，21，23T（T（A））．不满足题意．
当A={1，2，8}时，
T（T（A））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．
故元素个数最少的集合A为{1，5，8}
名师金手指领衔课时系列答案
【题目】某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试. 现从男、女生中各随机抽取
人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表. 规定：数据≥
，体质健康为合格.
等级 | 数据范围 | 男生人数 | 男生平均分 | 女生人数 | 女生平均分 |
优秀 |
|
|
|
|
|
良好 |
|
|
|
|
|
及格 |
|
|
|
|
|
不及格 |
|
|
|
|
|
总计 | -- |
|
|
|
|
(I)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率；
(II)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率；
（III）表中优秀、良好、及格、不及格四个等级的男生、女生平均分都接近（二者之差的绝对值不大于
），但男生的总平均分却明显高于女生的总平均分．研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级．（只需写出结论）
【题目】某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量
（单位：万件）的统计表：
月份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
销售量 |
|
|
|
|
|
|
|
但其中数据污损不清，经查证
，
，
.
（1）请用相关系数说明销售量与月份代码
有很强的线性相关关系；
（2）求关于
的回归方程（系数精确到0.01）；
（3）公司经营期间的广告宣传费
（单位：万元）（
），每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由.（毛利润等于销售金额减去广告宣传费）
参考公式及数据：
，相关系数
，当
时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
.