题目内容
【题目】已知数列,为其前项的和,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,数列的前项和为,求证:当,时;
(3)已知当,且时有,其中,求满足的所有的值.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)或者.
【解析】
(1)利用递推关系,,,单独求,即可得出;
(2)法一:直接计算化简即可证明;法二:利用数学归纳法即可证明;
(3)利用“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论即可得出.
(1)解:当时,
,
又,.
(2)证明:(法一):,,
.
(法二):数学归纳法:
①时,,,
②假设(,)时有,
当时,
,
是原式成立
由①②可知当,时.
(3)解:,.
相加得:
,
,
即,两边同时乘以,
,
时,无解,
又当时;,
时,;
时,,
时,为偶数,
而为奇数,不符合
时,为奇数,
而为偶数,不符合.
综上所述或者.
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