设 A(x1.y1).B(x2.y2)是函数f(x)=x-$\frac{1}{x-1}$的图象上任意两点.若 M为 A.B的中点.且 M的横坐标为1．(1)求y1+y2,(2)若Tn=$\frac{1}{2}[{f+f+f+-+f}]$.n∈N*.求 Tn,(3)已知数列{an}的通项公式an=$\frac{n+1}{2^n}$(n≥1.n∈N*).数列{an}的前n项和为Sn.若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．设 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=x-$\frac{1}{x-1}$的图象上任意两点，若 M为 A，B的中点，且 M的横坐标为1．
（1）求y₁+y₂；
（2）若T_n=$\frac{1}{2}[{f（{\frac{1}{2n}}）+f（{\frac{3}{2n}}）+f（{\frac{5}{2n}}）+…+f（{\frac{4n-1}{2n}}）}]$，n∈N^*，求 T_n；
（3）已知数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{n+1}{2^n}$（n≥1，n∈N^*），数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式2ⁿ•S_n＜m•2ⁿ-4T_n+5对任意n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

分析（1）利用中点坐标公式即可得出；
（2）由（1），当x₁+x₂=2时，有f（x₁）+f（x₂）=2，利用此结论可得T_n．
（3）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出S_n．不等式2ⁿ•S_n＜m•2ⁿ-4T_n+5，即m-3＞$\frac{3n-8}{2^n}$恒成立，故只需$m-3＞{（\frac{3n-8}{2^n}）_{max}}$．令b_n=$\frac{3n-8}{2^n}$，研究其单调性即可得出．

解答解：（1）由已知点M为线段AB的中点，则：x₁+x₂=2，
∴${y_1}+{y_2}=（{x_1}-\frac{1}{{{x_1}-1}}）+（{x_2}-\frac{1}{{{x_2}-1}}）={x_1}+{x_2}-（\frac{1}{{{x_1}-1}}+\frac{1}{{{x_2}-1}}）=2$．
（2）由（1），当x₁+x₂=2时，有f（x₁）+f（x₂）=2，
故$f（\frac{1}{2n}）+f（\frac{4n-1}{2n}）=2，f（\frac{3}{2n}）+f（\frac{4n-3}{2n}）=2，…$
由T_n=$\frac{1}{2}[f（\frac{1}{2n}）+f（\frac{3}{2n}）+f（\frac{5}{2n}）+…+f（\frac{4n-1}{2n}）]$，
T_n=$\frac{1}{2}[f（\frac{4n-1}{2n}）+f（\frac{4n-3}{2n}）+f（\frac{4n-5}{2n}）+…+f（\frac{1}{2n}）]$，
2T_n=$\frac{1}{2}\{[f（\frac{1}{n}）+f（\frac{2n-1}{n}）]+[f（\frac{3}{n}）+f（\frac{2n-3}{n}）]+…+[f（\frac{2n-1}{n}）+f（\frac{1}{n}）]\}$=$\frac{1}{2}$×2n×2=2n，
∴T_n=n．
（3）由已知：S_n=1+$\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+…+\frac{n+1}{2^n}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，$\frac{1}{2}{S_n}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}$，
∴S_n=3-$\frac{n+3}{2^n}$．
不等式2ⁿ•S_n＜m•2ⁿ-4T_n+5即3•2ⁿ-（n+3）＜m•2ⁿ-4n+5，
也即（m-3）•2ⁿ＞3n-8，即m-3＞$\frac{3n-8}{2^n}$恒成立，
故只需$m-3＞{（\frac{3n-8}{2^n}）_{max}}$．
令b_n=$\frac{3n-8}{2^n}$，
当n≥2时，b_n-b_n-1=$\frac{3n-8}{2^n}-\frac{3n-11}{{{2^{n-1}}}}=\frac{3n-8-6n+22}{2^n}=\frac{14-3n}{2^n}$，
当n≤4时，b_n-b_n-1＞0，当n≥5时，b_n-b_n-1＜0，
故b₁＜b₂＜b₃＜b₄； b₄＞b₅＞b₆＞…，
故（b_n）_max=b₄=$\frac{1}{4}$，
∴m-3＞$\frac{1}{4}$，解得：m＞$\frac{13}{4}$．