Question

11．已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R，则有下列结论：①此函数的图象关于直线x=-$\frac{π}{4}$对称；②此函数的最大值为$\sqrt{2}$；③此函数在区间（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上是增函数；④若角A是△ABC中的最小内角，则f（A）的值域为$（1，\sqrt{2}]$．则其中为真命题的序号为②③④．（填上你认为是真命题的所有序号）．

Answer 1

分析 由三角函数中的恒等变换应用可得函数解析式为f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由x+$\frac{π}{4}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得对称轴，可判断①不对；
由正弦函数的性质可判断②正确；
由2kπ$-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间，从而判断③正确；
由题意可得：0＜A＜$\frac{π}{3}$，可得：$\frac{π}{4}$＜A+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{12}$，利用正弦函数的性质可判断④正确；

解答 解：∵f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴由x+$\frac{π}{4}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得对称轴为：x=kπ$+\frac{π}{4}$，k∈Z，故①不对；
由正弦函数的性质可得此函数的最大值为$\sqrt{2}$，故②正确；
由2kπ$-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间为：（2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ$+\frac{π}{4}$），k∈Z，当k=0时，有（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）?（-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$），故③正确；
由题意可得：0＜A＜$\frac{π}{3}$，可得：$\frac{π}{4}$＜A+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{12}$，利用正弦函数的性质可得：$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，故④正确；
综上，真命题的序号为②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．