Question

【题目】已知函数， ，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．

（1）确定与的关系；若，并试讨论函数的单调性；

（2）设斜率为的直线与函数的图象交于两点 ，求证： ．

Answer 1

【答案】(1) ，单调性见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：(1)求导，利用导数的几何意义确定与的关系，再利用导函数的符号变换和分类讨论思想确定函数的单调性；(2)先利用直线的斜率公式确定不等关系，再构造函数，利用导数求函数的最值即可求解 .

试题解析：（1） ， ，

由题意得， ；

，

①当时， ，

当时， ， 函数在单调减；

当时， ， 函数在单调增；

②当时，即， ，

函数在上单调减；函数在和单调增；

③当时，即， ，

函数在单调增；

④当时．即， ，

函数在单调减区间；函数在和单调增；

（2）由题设，

①

令，则，

时， ， 函数在是减函数，

而， 时，

， ， ，即， ②

令，则，

时， ， 在是增函数，

时， ， ，

即 ③由①②③得．