Question

【题目】已知定义在R的奇函数f（x）满足当x＞0时，f（x）=|2x﹣2|，

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在图中的坐标系中作出函数y=f（x）的图象，并找出函数的单调区间；
（3）若集合{x|f（x）=a}恰有两个元素，结合函数f（x）的图象求实数a应满足的条件．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x＜0，则﹣x＞0，

∴ ，

又f（﹣x）=﹣f（x），

∴ ．

∴函数f（x）的解析式为：

（2）解：图象如图所示，

由图象得函数的减区间为[﹣1，0）和（0，1]．

增区间为（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）

（3）解：作直线y=a与函数y=f（x）的图象有两个交点，

则a∈（﹣1，0）∪（0，1）

【解析】（1）利用奇函数的性质即可得出；（2）如图所示，由图象即可得出单调区间；（3）作直线y=a与函数y=f（x）的图象有两个交点，即可得出a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的函数奇偶性的性质，需要了解在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能得出正确答案．