题目内容
【题目】已知椭圆
的长轴长是短轴长的2倍,且过点
.
⑴求椭圆的方程;
⑵若在椭圆上有相异的两点(
三点不共线),
为坐标原点,且直线
,直线
,直线
的斜率满足
.
(ⅰ)求证: 是定值;
(ⅱ)设的面积为
,当
取得最大值时,求直线
的方程.
【答案】(1);(2)证明见解析,
.
【解析】试题分析:(1)由题可知: ,可设椭圆方程为
,由椭圆过点
,即可求出
,
的值,从而求出椭圆
的方程;(2)(ⅰ)设直线AB方程为:
,
,
,根据
,可化简得
,再根据
三点不共线,进而化简得
,联立直线与椭圆方程,消去
,结合韦达定理,即可解得
,从而可得
,(ⅰ)表示出
,即可求出定值;(ⅱ)表示出
=
,结合
的取值范围及基本不等式,求出
取得最大值时
的值,进而可求出直线方程.
试题解析:(1)由题可知: ,可设椭圆方程为
,又因椭圆过点
,则
,解得
,所以椭圆方程为
(2)设直线AB方程为: ,
,
∵
∴,化简得:
∵A、O、B三点不共线
∴ 则
①
由可得:
,
由韦达定理可得 ② 且
③
将②代入①式得: ,解得
,则
④
(ⅰ) =
=
将④代入得=
=
(ⅱ) =
=
由 ③ ④ 可得: ,则
=
=
,
当且仅当时,直线方程为
.
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