题目内容
【题目】已知函数f(x)=(x2-ax+a)e-x，a∈R
（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）设g(x)=f’(x)，其中f’(x)为函数f(x)的导函数.判断g(x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导得f’(x)=-(x-2)(x-a)e-x，讨论a和2的大小，结合导数的正负讨论单调性即可；
（Ⅱ）g’(x)=f＂(x)=[x2-(a+4)x+3a+2]×e-x，记h(x)=x2-(a+4)x+3a+2，通过二次函数的性质知函数有正有负，从而得g(x)在定义域内不为单调函数.
试题解析：
（Ⅰ）函数f(x)的定义域为{x|x∈R}. 
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①当a<2时，令f’(x)<0，解得：x<a或x>2，f(x)为减函数；
令f’(x)>0，解得：a<x<2，f(x)为增函数.
②当a=2时，f’(x)=-(x-2)2e-x≤0恒成立，函数f(x)为减函数；
③当a>2时，令f’(x)<0，解得：x<2或x>a，函数f(x)为减函数；
令f’(x)>0，解得：2<x<a，函数f(x)为增函数.
综上，
当a<2时，f(x)的单调递减区间为(-∞,a),(2,+∞)；单调递增区间为(a,2)；
当a=2时，f(x)的单调递减区间为(-∞,+∞)；
当a>2时，f(x)的单调递减区间为(-∞,2),(a,+∞)；单调递增区间为(2,a).
（Ⅱ）g(x)在定义域内不为单调函数，以下说明：
g’(x)=f＂(x)=[x2-(a+4)x+3a+2]×e-x.
记h(x)=x2-(a+4)x+3a+2，则函数h(x)为开口向上的二次函数.
方程h(x)=0的判别式△=a2-4a+8=(a-2)2+4>0恒成立.
所以，h(x)有正有负，从而g’(x)有正有负
故g(x)在定义域内不为单调函数.
