题目内容
【题目】已知函数
,
.
(1)若存在极值点1,求
的值;
(2)若存在两个不同的零点,求证:
(
为自然对数的底数,
).
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)由存在极值点为1,得
,可解得a.
(2)函数的零点问题,实质是对函数的单调性进行讨论, 时,
在
上为增函数(舍);当
时,当
时,
增,当
时,
为减,又因为
存在两个不同零点,所以
,解不等式可得.
试题解析:(1) ,因为
存在极值点为1,所以
,即
,经检验符合题意,所以
.
(2)
①当时,
恒成立,所以
在
上为增函数,不符合题意;
②当时,由
得
,
当时,
,所以
为增函数,
当时,
,所
为增函减数,
所以当时,
取得极小值
又因为存在两个不同零点,所以
,即
整理得,令
,
,
在定义域内单调递增,
,由
知
,故
成立.
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