题目内容
【题目】选修4-4:极坐标与参数方程
在极坐标系中,已直曲线,将曲线C上的点向左平移一个单位,然后纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到曲线C1,又已知直线,且直线与C1交于A、B两点,
(1)求曲线C1的直角坐标方程,并说明它是什么曲线;
(2)设定点, 求的值;
【答案】(1)曲线是焦点,长轴长为4的椭圆(2)
【解析】试题分析:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,化曲线C1的方程为(x﹣1)2+y2=1,再由图象的伸缩变换可得曲线C1;
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程中,得到关于t的二次方程,运用韦达定理,参数的几何意义,即可求.
试题解析:
(1)曲线的直角坐标方程为,即∴曲线的直角坐标方程为∴曲线是焦点,长轴长为4的椭圆.
解(2)将直线的参数方程代入曲线的方程中得,
设对应的参数为、∴,
∴.
【题目】某港口有一个泊位,现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位:小时),如果停靠时间不足半小时按半小时计时,超过半小时不足1小时按1小时计时,以此类推,统计结果如表:
停靠时间 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 |
轮船数量 | 12 | 12 | 17 | 20 | 15 | 13 | 8 | 3 |
(Ⅰ)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为小时,求的值;
(Ⅱ)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠小时,且在一昼夜的时间段中随机到达,求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率.