题目内容

【题目】已知函数.

I)若曲线存在斜率为-1的切线,求实数a的取值范围;

II)求的单调区间;

III)设函数,求证:当时, 上存在极小值.

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)答案见解析;(Ⅲ)证明见解析.

【解析】试题分析:(Ⅰ)求出函数的导数,问题转化为存在大于0的实数根,根据时递增,求出的范围即可;(Ⅱ)求出函数的导数,通过讨论的范围,判断导函数的符号,求出函数的单调区间即可;(Ⅲ)求出函数的导数,根据,得到存在满足,从而得到函数的单调区间,求出函数的极小值,证出结论即可.

试题解析:I)由.

由已知曲线存在斜率为-1的切线,所以存在大于零的实数根,

存在大于零的实数根,因为时单调递增,

所以实数a的取值范围.

II)由可得

时, ,所以函数的增区间为

时,若 ,若

所以此时函数的增区间为,减区间为.

III)由及题设得

可得,由(II)可知函数上递增,

所以,取,显然

所以存在满足,即存在满足所以 在区间(1+∞)上的情况如下:

0 +

极小

所以当-1<a<0时,gx)在(1+∞)上存在极小值.

(本题所取的特殊值不唯一,注意到),因此只需要即可)

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