Question

18．已知圆O：x²+y²=4和点M（1，a）．
（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程；
（2）若a=$\sqrt{2}$，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直．
①求四边形ABCD面积的最大值；②求|AC|+|BD|的最大值．

Answer 1

分析 （1）代入M，解方程可得a，由切线的性质，可得切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）①运用弦长公式，由四边形的面积公式可得S_ABCD=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|，结合重要不等式，即可得到最大值；
②运用弦长公式可得|AC|+|BD|，平方后结合基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：（1）由条件知点M在圆O上，所以1+a²=4，则a=$±\sqrt{3}$，
由a＞0，则a=$\sqrt{3}$，点M为（1，$\sqrt{3}$），k_OM=$\sqrt{3}$，切线的斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
此时切线方程为y-$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即x+$\sqrt{3}$y-4=0；
（2）设O到直线AC，BD的距离分别为d₁，d₂，
则d₁²+d₂²=|OM|²=3，于是|AC|=2$\sqrt{4-{{d}_{1}}^{2}}$，|BD|=2$\sqrt{4-{{d}_{2}}^{2}}$，
①S_ABCD=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=2$\sqrt{4-{{d}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{4-{{d}_{2}}^{2}}$≤4-d₁²+4-d₂²=8-3=5，
当且仅当d₁=d₂=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时取等号，
即四边形ABCD面积的最大值为5；
②|AC|+|BD|=2$\sqrt{4-{{d}_{1}}^{2}}$+2$\sqrt{4-{{d}_{2}}^{2}}$，
则（|AC|+|BD|）²=4（4-d₁²+4-d₂²+2$\sqrt{4-{{d}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{4-{{d}_{2}}^{2}}$）
=4（5+2$\sqrt{16-4（{{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}）+{{d}_{1}}^{2}{{d}_{2}}^{2}}$）=4（5+2$\sqrt{4+{{d}_{1}}^{2}{{d}_{2}}^{2}}$）
因为2d₁d₂≤d₁²+d₂²=3，所以d₁²d₂²≤$\frac{9}{4}$，当且仅当d₁=d₂=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时取等号，
所以$\sqrt{4+{{d}_{1}}^{2}{{d}_{2}}^{2}}$≤$\frac{5}{2}$，所以（|AC|+|BD|）²≤4（5+2×$\frac{5}{2}$）=40，
所以|AC|+|BD|≤2$\sqrt{10}$，
即|AC|+|BD|的最大值为2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查直线和圆相交的性质，主要考查弦长公式的运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．