Question

【题目】如图所示，三棱锥中，平面平面，是边长为4,的正三角形，是顶角 的等腰三角形，点为上的一动点．

（1）当时，求证：；

（2）当直线与平面所成角为时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）证明；取中点为，连接，，由为正三角形知，由余弦定理可证，即平面，即可证明 ；

（2）以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值.

（1）证明；取中点为，连接，，

由为正三角形知，

在中，可得，

中，由余弦定理可得，

从而，即，

所以平面，

于是 ，即 ；

（2）由（1）知平面，则与平面的夹角为，

在直角中，可得，则点为线段的中点，

以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（由（1）知点为靠近的三等分点）,

则点，

从而，，，

于是，

设平面的一个法向量为，

则，即，不妨取，得，

又平面的一个法向量为，

从而，

故二面角的余弦值为.