Question

【题目】在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线： （为参数）， ：（为参数）.

（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）直线的极坐标方程为，若上的点对应的参数为，为上的动点，求线段的中点到直线距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用同角三角函数的平方关系消去参数，即可化为普通方程，并根据方程形式判断曲线类型.

（2）先根据题意，将直线的直角坐标方程求出来，将坐标求出来，再利用参数法，表示线段的中点到直线距离，从而得到该距离的函数，通过研究函数得到其最小值.

（1）因为： （为参数），

消去参数得：，表示以为圆心，为半径的圆；

因为：（为参数），

消去参数得：，表示焦点在轴上的椭圆.

（2）因为直线的极坐标方程为，

利用互化公式可得直角坐标方程为：，

因为若上的点对应的参数为，所以，

因为为上的动点，则设，

所以线段的中点，

设到直线距离为，则有

所以当时，.