题目内容
【题目】已知函数,其中
,
为参数,且
.
(Ⅰ)当时,判断函数
是否有极值.
(Ⅱ)要使函数的极小值大于零,求参数
的取值范围.
(Ⅲ)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数,函数
在区间
内都是增函数,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)无极值.
(Ⅱ).
(Ⅲ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)当时,
,得到
,所以
无极值.
(Ⅱ)由,得
,
,由(Ⅰ),只需分当
和
两情况讨论,即可得到使函数
在
内的极小值大于零,参数
的取值范围.
(Ⅲ)由题设,函数在
内是增函数,且由(Ⅱ)参数
时
要使
恒成立,列出不等式,即可求解实数
的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ)当时,
,
,所以
,所以
无极值.
(Ⅱ)因为,
设,得
,
由(Ⅰ),只需分下面两情况讨论:
①当时
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
所以当时,
取得极小值,
极小值,
要使则有
,
所以,
因为,故
或
;
②当时,
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
所以当时,
取得极小值.
极小值
若,则
,矛盾.
所以当时,
的极小值不会大于零.
综上所述,要使函数在
内的极小值大于零,参数
的取值范围是:
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,函数在区间
与
内都是增函数,由题设,函数
在
内是增函数,则
或
由(Ⅱ)参数时
要使
恒成立,必有
即且
综上:或
.
所以的取值范围是
.
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