题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,
,直线
:
(
为参数,
).
(Ⅰ)求直线的普通方程;
(Ⅱ)在曲线上求一点
,使它到直线
的距离最短,并求出点
的极坐标.
【答案】(1) 直线的普通方程为
;(2) 点
的极坐标为
.
【解析】
(1)根据加减消元法得直线的普通方程,(2)由于曲线
为圆,所以D为过圆心且垂直直线
的直线与圆的交点(取靠近直线
的点),利用解方程组可得D直角坐标,最后化为极坐标.
(Ⅰ)因为直线的参数方程为(
为参数,
),
消去得直线
的普通方程为
.
(Ⅱ)因为曲线:
是以
为圆心,
为半径的圆,
设点,且点
到直线
:
的距离最短,
所以曲线在点
处的切线与直线
:
平行.
即直线与
的斜率的乘积等于
,即
.
因为,解得
或
.所以点
或
.
由于点到直线
的距离最短,所以点
的极坐标为
.
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