Question

【题目】设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切的实数x都成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数： ①f（x）=2x，
②f（x）=x2+1，
③f（x）=sinx+cosx，
④f（x）= ，
⑤f（x）是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x1 ， x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．
其中是“倍约束函数”的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵对任意x∈R，存在正数M，都有|f（x）|≤M|x|成立 ∴对任意x∈R，存在正数K，都有 M≥ 成立
∴对于①f（x）=2x，易知存在M=2符合题意；
对于②， = =|x|+ ≥2，故不存在满足条件的M值，故②错误；
对于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，|f（x）|≤M|x|不成立，故③错误；
对于④ ， = ≤ 恒成立，故④正确；
对于⑤，当x1=x，x2=0时，由|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|得到|f（x）|≤2|x|成立，这样的M存在，故⑤正确；
故是“倍约束函数”的函数有3个
故选C．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的定义域及其求法和函数的值域的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．