题目内容
(本小题满分12分)
已知动圆P过点并且与圆相外切,动圆圆心P的轨迹为W,过点N的直线与轨迹W交于A、B两点。
(Ⅰ)求轨迹W的方程; (Ⅱ)若,求直线的方程;
(Ⅲ)对于的任意一确定的位置,在直线上是否存在一点Q,使得,并说明理由。
已知动圆P过点并且与圆相外切,动圆圆心P的轨迹为W,过点N的直线与轨迹W交于A、B两点。
(Ⅰ)求轨迹W的方程; (Ⅱ)若,求直线的方程;
(Ⅲ)对于的任意一确定的位置,在直线上是否存在一点Q,使得,并说明理由。
解:(Ⅰ)依题意可知 ∴,
∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支,设其方程为,则 ∴,∴轨迹W的方程为
(Ⅱ)当的斜率不存在时,显然不满足,故的斜率存在,设的方程为,由得,又设,
则 高#考#资#源#
由①②③解得,∵ ∴
∴ 代入①②得,
消去得,即,故所求直线的方程为:;
(3)问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线有公共点若直线的斜率不存在,
则以AB为直径的圆为,可知其与直线相交;
若直线的斜率存在,则设直线的方程为,
由(2)知且,又为双曲线的右焦点,
双曲线的离心率e=2,则
设以AB为直径的圆的圆心为S,点S到直径的距离为d,则
∴
∵ ∴即,即直线与圆S相交。
综上所述,以线段AB为直径的圆与直线相交;
故对于的任意一确定的位置,
与直线上存在一点Q(实际上存在两点)使得
∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支,设其方程为,则 ∴,∴轨迹W的方程为
(Ⅱ)当的斜率不存在时,显然不满足,故的斜率存在,设的方程为,由得,又设,
则 高#考#资#源#
由①②③解得,∵ ∴
∴ 代入①②得,
消去得,即,故所求直线的方程为:;
(3)问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线有公共点若直线的斜率不存在,
则以AB为直径的圆为,可知其与直线相交;
若直线的斜率存在,则设直线的方程为,
由(2)知且,又为双曲线的右焦点,
双曲线的离心率e=2,则
设以AB为直径的圆的圆心为S,点S到直径的距离为d,则
∴
∵ ∴即,即直线与圆S相交。
综上所述,以线段AB为直径的圆与直线相交;
故对于的任意一确定的位置,
与直线上存在一点Q(实际上存在两点)使得
略
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