Question

19．下列命题中：（1）x+$\frac{1}{x}$的最小值是2；（2）$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$的最小值是2；（3）$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$的最小值是2；（4）2-3x-$\frac{4}{x}$的最小值是2，其中正确的命题是（2）．

Answer 1

分析 （1）当x＜0时，y=x+$\frac{1}{x}$＜0，不成立；，（2）y=$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2；
（3）y=$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$≥2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$；（4）当x＞0时，y=2-3x-$\frac{4}{x}$的最大值是2-4$\sqrt{3}$，当x＜0时，最小值是2+4$\sqrt{3}$，不成立．

解答 解：（1）当x＞0时，y=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，其最小值是2；
当x=0时，y=x+$\frac{1}{x}$不存在；
当x＜0时，y=x+$\frac{1}{x}$=-（-x-$\frac{1}{x}$）≤-2 $\sqrt{（-x）•（\frac{1}{-x}）}$=-2，其最大值是-2．
故（1）不成立；
（2）y=$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2；当且仅当x=0时“=”成立；
故（2）成立；
（3）y=$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$≥2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$；
∴y的最小值是$\frac{5}{2}$，
故（3）错误；
（4）当x＞0时，y=2-3x-$\frac{4}{x}$≤2-2$\sqrt{3x•\frac{4}{x}}$=2-4$\sqrt{3}$，最大值是2-4$\sqrt{3}$，
当x=0时，y=2-3x-$\frac{4}{x}$不存在，
当x＜0时，y=2-3x-$\frac{4}{x}$≥2+2$\sqrt{（-3x）•（\frac{4}{-x}）}$=2+4$\sqrt{3}$，最小值是2+4$\sqrt{3}$，
故（4）不成立，
故答案为：（2）．

点评 本题考查基本不等式的性质及其应用，解题时要注意均值定理成立的条件：“一正，二定，三相等”，是基础题．