Question

9．以抛物线x²=2my（m＞0）的顶点O为圆心的圆，截该抛物线的准线所得的弦长为$\sqrt{3}$m
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过圆C上任一点M作该圆的切线l，它与椭圆$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{2}$=1（a∈R，且a＞2）相交于A、B两点，当OA⊥OB时，求m的可能取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于圆C截抛物线的准线所得的弦长为$\sqrt{3}m$，所以圆C的半径$r=\sqrt{{{（{\frac{m}{2}}）}^2}+{{（{\frac{{\sqrt{3}m}}{2}}）}^2}}=m$，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用OA⊥OB，x₁x₂+y₁y₂=0，得出m²=$\frac{2a}{a+2}$=2-$\frac{4}{a+2}$，即可求m的可能取值范围．

解答 解：（Ⅰ）已知抛物线的准线方程是$y=-\frac{m}{2}$（m＞0），由于圆C截抛物线的准线所得的弦长为$\sqrt{3}m$，所以圆C的半径$r=\sqrt{{{（{\frac{m}{2}}）}^2}+{{（{\frac{{\sqrt{3}m}}{2}}）}^2}}=m$，故所求圆的方程是x²+y²=m²；
（Ⅱ）当圆C的切线l的斜率存在时，设方程为y=kx+t，A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
代入椭圆方程，可得（2+ak²）x²+2aktx+at²-2a=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2akt}{2+a{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{a{t}^{2}-2a}{2+a{k}^{2}}$，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（1+k²）x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=0，
∴（1+k²）×$\frac{a{t}^{2}-2a}{2+a{k}^{2}}$+kt×（-$\frac{2akt}{2+a{k}^{2}}$）+t²=0①
∵直线l是圆的切线，
∴m=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴t²=m²（1+k²），
代入①整理可得m²=$\frac{2a}{a+2}$=2-$\frac{4}{a+2}$，
∵a＞2，∴△＞0恒成立；
当圆C的切线l的斜率不存在时，由OA⊥OB，同样可得m²=$\frac{2a}{a+2}$=2-$\frac{4}{a+2}$，
∵a＞2，∴1＜m²＜2，
∵m＞0，
∴1＜m＜$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．